Иван Шашков родился 16 мая 1909 года по старому стилю (по новому - 29 мая 1909 года) в деревне Мамзя Мало-Яушской волости Ядринского уезда Казанской губернии (ныне - Убеевское сельское поселение Красноармейского района) в семье крестьянина.
После завершения учебы с Похвальной грамотой в Убеевской 6-летней школе И.Шашков поступил в Цивильскую школу 2 ступени, которую закончил в 1928 году. 
В 1930 году Иван стал студентом 1 курса физико-математического факультета Ленинградского госуниверситета. 19 декабря 1935 году И.Шашков окончил механическое отделение физико-математического факультета Ленинградского государственного университета имени А.С.Бубнова. Уже с января 1936 года молодой специалист начал работать инженером-расчетчиком на заводе № 224, который выпускал приборы по метрологии и авиации.
В начале Великой Отечественной войны И.Шашков добровольно записался в народное ополчение. Уже со 2 июля 1941 года как командир взвода защищал Выборгскую сторону Ленинграда. Он был заместителем командира по технической части отдельного зенитного 7203 артдивизиона, 596 истребительно-артиллеристского полка, помощником начальника 5 отдела артснабжения Ленинградского фронта. Участвовал в боях на Пулковских высотах по обороне Ленинграда, под Урицким (1941-1942), прорыве блокады под Шлиссельбургом, в Красноборской операции (март-апрель 1943 года).
За мужество и отвагу на фронтах Великой Отечественной войны И.Шашков награжден двумя орденами Отечественной войны II степени, «За оборону Ленинграда».
В 1946-1950 годы И.Е.Шашков занимался проблемами прочности первых баллистических ракет, участвовал в процессе их создания и полигонной обработки. Он стал первым кандидатом технических наук (1950) в коллективе научно-исследовательского института - 4 Министерства обороны СССР. Через десять лет неутомимый чуваш защитил докторскую диссертацию с темой «Некоторые вопросы динамического расчёта спецконструкций и устойчивости упругих систем».
  При его участии выпущено ряд отчётов, по материалам которых опубликованы научное и написано учебное пособие по строительной механике. Слушатели академии имени Жуковского до сих пор успешно пользуются учебным пособием «Материалы к курсу строительной механики» под редакцией профессора Безухова Н.И. Соавторами которого являются И.Шашков, В.Коршун и В.Суворкин.
  В 1959-1963 годы И.Шашков возглавлял коллектив лаборатории конструкций и прочности специальных летательных аппаратов и носителей. Он активно участвовал в изобретательской работе: в соавторстве им получено 12 авторских свидетельств за изобретения перспективных двигателей и летательных аппаратов. Иван Ефимович много внимания уделял подготовке научных кадров. Более 10 лет был председателем комиссии по приёму кандидатских экзаменов по специальным предметам.
  В течение 5 лет являлся председателем учёного совета по комплексу специальностей. Шашков лично подготовил 9 кандидатов и 2 докторов наук, выступал в качестве официального оппонента по 27 кандидатским и докторским диссертациям в различных научных учреждениях и высших учебных заведениях.
  И.Шашков сыграл значительную роль в деле развития специального вооружения, повышения обороноспособности страны и освоения космического пространства.
На базе ракеты серии Р-7, в создании, испытании которых принимал самое активное участие вместе с С.П.Королевым и наш земляк И.Шашков стартовали первые космонавты Ю.Гагарин, Г.Титов, А.Николаев и П.Попович. 
За достижения в научно-исследовательской работе (опубликованы более 150 научных работ и 3 монографии) и в подготовке научных кадров И.Е.Шашкову в 1968 году присвоено учёное звание «профессор». Он - заслуженный работник науки и техники Российской Федерации, кавалер ордена Трудового Красного Знамени и обладатель 21 медали.